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最早出现的是力学的数学化，它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力学定律逐个地、必然地引申出来。18世纪数学的各个学科，如三角学、 解析几何学、微积分学、数论、方程论，得到了快速发展。19世纪20年代出现了一个伟大的数学成 就——把微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上.柯西于1821年在《分析教程》一书中，发展了可以接受的极限理论，再然后极其严格地定义了函数的连续性、导数以及积分，强调了研究级数收敛性的 必要，给出了正项级数的根式判别法和积分判别法.而在这一时期，非欧几何的出现，成为数学史上 的一件大事.非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备.这时人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何.非欧几何所导致的思想解放对于现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限性而深入到自然的更深刻的本质. 非欧几何的发现，黎曼和罗巴切夫斯基功不可灭，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学.后来，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.不可交 换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪 20-30年代，阿贝尔和伽罗瓦开创了近世代数学的研究。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵 等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件——分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。

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